Optimisation d'aire

1. Soit `f`  la fonction définie sur l’intervalle \([0 \ ; 2]\) par \(f(x) = 8x - 2x^3\) .
    a. Montrer que, pour tout réel \(x\)  de \([0~; 2]\) , \(f'(x)\)  a le même signe que \(4 - 3x^2\) .
    b. Étudier les variations de la fonction \(f\)  sur \([0~; 2]\) .

2. Dans un repère orthonormal, on considère la parabole \(\mathscr{P}\)  d’équation \(y = x^2\)  et la droite \(\mathscr{D}\)  d’équation \(y = 4\) . On considère le rectangle \(\text{MSFE}\)  tel que :

• \(\text M\)  est un point de \(\mathscr{P}\)  dont l’abscisse \(x\)  est un réel de \(]0~; 2[\)  ;
  
• \(\text S\)  est le symétrique de \(\text M\)  par rapport à l’axe des ordonnées ;
  
• \(\text E\)  et \(\text F\)  sont respectivement les projetés orthogonaux de \(\text M\)  et \(\text S\)  sur la droite \(\mathscr{D}\) .
  

     a. Lorsque l’abscisse \(x\)  du point \(\text M\)  varie dans \(]0~;2[\) , l’aire du rectangle \(\text M\text S\text F\text E\)  est-elle constante ?
    b. Montrer que l’aire du rectangle \(\text M\text S\text F\text E\)  en fonction de l’abscisse \(x\)  de \(\text M\)  est \(8x - 2x^3\) .
    c. Montrer que l’aire maximale du rectangle \(\text M\text S\text F\text E\)  est \(\dfrac{32}{3\sqrt{3}}\) .